Análise Combinatória I – Aula de revisão para Matemática Enem

Princípio Fundamental da Contagem

“Se uma decisão d₁ pode ser tomada de x maneiras diferentes e se, uma vez tomada a decisão d₁, a decisão d₂ puder ser tomada de y maneiras diferentes, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d₁ e d₂ é dado pelo produto x ⋅ y.”

Problema 1

Você precisa ir de Santa Maria a Belem, necessariamente passando por Goiânia. De Santa Maria a Goiânia você pode ir de avião ou carro; de Goiânia a Belém, você pode ir de Helicóptero, moto ou ônibus. De quantos modos diferentes você pode fazer o trajeto Santa Maria-Belém, sempre usando um desses meios de transporte e passando por Goiânia?

Resolução

Dividimos o problema em duas etapas:

• Santa Maria-Goiânia, que pode ser feito de 2 modos diferentes.
• Goiânia-Belém, que pode ser feito de 3 modos diferentes.

Assim, o número de maneiras de efetuar o trajeto Santa Maria-Belém é o produto das possibilidades de cada etapa: 2 ⋅ 3 = 6

Uma das preocupações da Análise Combinatória é com a criação de agrupamentos. Agrupamos as letras do alfabeto para formarmos senhas ou placas de automóveis. Agrupamos pessoas em comissões. Cartas de um baralho são agrupadas de 9 em 9. Peças de um dominó são agrupadas de 7 em 7.

Agrupamentos

Arranjo Simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a₁, a₂, a₃, …, a_n} . . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer sequência formada por P elementos distintos de E.”

Símbolo: A_{n . P} ou A^P_n.

Fórmula:

Combinação Simples

Definição: “Seja E um conjunto com n elementos, isto é, E = {a₁,a₂, a₃, …, a_n} . Chamamos de arranjos simples dos n elementos de E tomados P a P (1≤ p ≤ n) a qualquer subconjunto de E formada por P elementos.”

Símbolo: C_{n . P} ou C^P_n

Fórmula:

Obs: Veja que a diferença entre Arranjo e Combinação está na ordem dos elementos. Na combinação, um grupo se diferencia do outro apenas pela natureza dos seus elementos, enquanto que no arranjo os grupos se diferenciam pela natureza e pela ordem.

Problema 2

Considere o conjunto V = {a,e,i,o,u},

a) quantas senhas de 3 letras distintas podemos formar?

b) quantos subconjuntos de 3 elementos distintos podemos formar?

Resolução:

a) A senha aei é diferente de iea, isto é, a mudança de ordem cria um novo grupo. Desse modo estamos diante de um problema de Arranjo de 5 elementos tomados 3 a 3.

b) O subconjunto {a,e,i} é o mesmo que {i,e,a}. Já o subconjunto {a,e,u} é diferente de {a,e,i}, porque mudou a natureza de seus elementos. Portanto, esse é um problema de combinação de 5 elementos tomados 3 a 3.

Exercícios de aplicação:

Exercício 01

(Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de

a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) duas combinações.

e) dois arranjos.

Exercício 02

(Enem 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir.

T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores.

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a

a) 1.320.

b) 2.090.

c) 5.845.

d) 6.600

e) 7.245.

Exercício 03

(Enem 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é

a) 12

b) 31

c) 36

d) 63

e) 720

Exercício 04

(Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é

a) 6.

b) 7.

c) 8.

d) 9.

e) 10.

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Desafios

Questão 01

Com as letras A, B, C, D, E, F quantas senhas:

a) de 3 letras podemos formar?

b) de três letras distintas podemos formar?

Dica 1 – Relembre sobre Progressão Geométrica em mais esta aula de revisão para a prova de Matemática Enem. Estude com a gente para o Exame Nacional do Ensino Médio! – https://fuvestibular.com.br/progressao-geometrica-matematica-enem/

Questão 02

(UERJ) Uma bicicleta de marchas tem três engrenagens na coroa, que giram com o pedal, e seis engrenagens no pinhão, que giram com a roda traseira. Observe a bicicleta a seguir e as tabelas que apresentam os números de dentes de cada engrenagem, todos de igual tamanho.

Cada marcha é uma ligação, feita pela corrente, entre uma engrenagem da coroa e uma do pinhão.

Um dente da 1a engrenagem da coroa quebrou. Para que a corrente não se desprenda com a bicicleta em movimento, admita que a engrenagem danificada só deva ser ligada à 1 a ou à 2 a engrenagem do pinhão.

Nesse caso, o número máximo de marchas distintas, que podem ser utilizadas para movimentar a bicicleta, é de:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

Dica 2 – Tire todas as suas dúvidas nesses exercícios aplicados que preparamos para você. Revise sobre Porcentagem e Juros em mais esta aula de Matemática Enem – https://fuvestibular.com.br/porcentagem-e-juros-exercicios-aplicados-matematica-enem/

Questão 03

(FATEC) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine?

a) 144

b) 132

c) 120

d) 72

e) 20

Dica 3 – Lembra tudo sobre Regra de Três Simples e Composta? Aproveite esta revisão com exercícios resolvidos e garanta a sua nota na prova de Matemática Enem! – https://fuvestibular.com.br/regra-de-tres-simples-composta-exercicios-matematica-enem/

Questão 04

(UERJ) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007.

Um desses grupos está apresentado a seguir.

Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente.

Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:

a) 24

b) 35

c) 70

d) 140

Questão 05

(FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto.

Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.

Quantas comissões podem ser formadas?

a) 71

b) 75

c) 80

d) 83

e) 87