Matemática

Conhecimentos matemáticos são aplicados na interpretação de fenômenos, em diferentes áreas da ciência, nas atividades tecnológicas e cotidianas.

O cidadão necessita da capacidade de leitura e interpretação de informações por gráficos ou outras formas de linguagem matemática, de percepção da coerência ou não de uma argumentação, bem como da competência para formular suas próprias idéias de forma consistente, para uma inserção crítica e autônoma na sociedade contemporânea.

Dentro deste espírito, espera-se que o candidato demonstre possuir domínio da linguagem básica e compreensão dos conceitos fundamentais da Matemática, tratados no ensino fundamental e médio, de forma a saber aplicá-los em situações diversas e relacioná-los entre si e com outras áreas do conhecimento.

Ele deve saber reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionar procedimentos associados às diferentes áreas, analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da realidade.

Será priorizada a avaliação da capacidade de raciocínio, sem dar ênfase à memorização de fórmulas, à mecanização de técnicas ou a cálculos excessivos, desvinculados de contexto significativo ou de aplicações relevantes, dentro ou fora da Matemática.

Na 1° fase do Vestibular, o objetivo é avaliar o candidato quanto ao domínio e utilização da linguagem e quanto à compreensão de conceitos e procedimentos da matemática elementar, bem como quanto à capacidade de aplicá-los na resolução de problemas.

Na 2° fase, além destes aspectos, pretende-se também avaliar o candidato quanto ao domínio de conceitos, ferramentas e procedimentos matemáticos necessários para o aprofundamento de estudos em áreas de ciências exatas, bem como quanto à capacidade de utilizá-los em situações-problema mais abstratas.

CONCEITOS E RELAÇÕES NUMÉRICAS BÁSICAS E APLICAÇÕES

Conhecer os problemas nodais que impulsionaram a necessidade de ampliação dos campos numéricos e dominar os conceitos básicos que deles surgiram, proporciona, ao indivíduo, uma inserção mais completa na cultura universal desenvolvida por homens e mulheres ao longo da História.

O cidadão frequentemente necessita lidar com dívidas ou crediários, interpretar descontos, entender reajustes salariais, escolher aplicações financeiras, etc.

Daí a importância da Matemática Financeira com suas aplicações práticas. Sistemas lineares e matrizes são instrumentos da linguagem matemática na modelação de situações-problema, além de representarem técnicas de grande utilidade para outros domínios da matemática de nível superior.

TÓPICOS

• 1.1. Números inteiros:
  • compreensão dos algoritmos das quatro operações fundamentais no sistema decimal de numeração
  • divisibilidade e a decomposição em fatores primos
• 1.2 Insuficiência dos números inteiros para a comparação de grandezas e para medir partes de um todo: 
  • razões e proporções; os números racionais
  • operações e a relação de ordem entre números racionais
  • representação decimal dos números racionais e sua relação com PG
• 1.3. Insuficiência dos números racionais para medir segmentos a partir de uma unidade fixada:
  • o conceito de número irracional
  •  representação decimal dos números reais.
• 1.4. Insuficiência dos números reais para a resolução de equações algébricas de 2o e 3o graus:
  • o conceito de número complexo e suas representações:
    • geométrica
    • algébrica
    • trigonométrica
  • interpretação algébrica e geométrica das operações e das raízes de números complexos
    • raízes da unidade.
• 1.5. Matemática financeira como instrumento para a resolução de problemas:
  • os conceitos de porcentagem
  • juro simples e juro composto e sua relação com PA e PG, respectivamente
• 1.6. Sistemas lineares e matrizes como organização e sistematização de informações:
  • discussão e resolução de sistemas lineares (de até 4 equações e até 4 incógnitas) por escalonamento ou por substituição de variáveis.

GEOMETRIA

A utilização de conhecimentos geométricos para leitura , compreensão e ação sobre a realidade tem longa tradição na história da humanidade. É inegável a importância de saber caracterizar as diferentes formas geométricas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, através de seus elementos e propriedades, bem como de poder representá-las por meio de desenho geométrico.

Na resolução de diferentes situações problema, seguramente se faz necessária uma boa capacidade de visão geométrico-espacial, o domínio das ideias de proporcionalidade e semelhança, a compreensão dos conceitos de comprimento, área e volume, bem como saber calculá-los.

Deve-se salientar que a semelhança de triângulos permitiu o desenvolvimento da trigonometria do triângulo retângulo, criada para solucionar problemas práticos de cálculo de distâncias inacessíveis.

Por outro lado, as noções de semelhança e congruência nos remetem também aos fundamentos da própria Geometria.

Saber utilizar as coordenadas cartesianas de pontos no espaço possibilita a descrição de objetos geométricos numa linguagem algébrica, ampliando consideravelmente os horizontes da modelagem e da resolução de problemas geométricos, por meio da interação entre essas duas áreas da matemática.

TÓPICOS

• 2.1. Características, elementos e propriedades geométricas (tais que: vértices, arestas, lados, alturas, ângulos, focos, diretrizes, convexidade, número de diagonais,…) das seguintes figuras planas e espaciais:
  • polígonos
  • círculos
  • setores circulares
  • elipses
  • parábolas
  • hipérboles
  • prismas
  • pirâmides
  • esfera
  • cilindros
  • cones
  •  troncos
• 2.2. Congruência e Semelhança de figuras planas e espaciais
  • Razões entre comprimentos
  • áreas e volumes de figuras semelhantes
  • Teorema de Tales e aplicações:
    • problemas envolvendo semelhança
    • somas dos ângulos internos e externos de polígonos.
  • Casos de semelhança e congruência de triângulos e aplicações
  • Trigonometria do triângulo retângulo como instrumento para a resolução de problemas:
    • seno
    • cosseno
    • tangente de ângulos agudos como razão de semelhança nos triângulos retângulos
• 2.3. Eixos e planos de simetrias de figuras planas ou espaciais:
  • Reconhecimento das secções planas de cones e as definições de elipse
  • parábola e hipérbole como lugar geométrico
  • Aplicações
• 2.4. Relações métricas nas figuras geométricas planas e espaciais:
  • O teorema de Pitágoras:
    • lei dos senos e cossenos
    • aplicações em problemas bi e tridimensionais tais que:
      • cálculo de diagonais
      • alturas
      • raios
      • etc.
  • Comprimentos (ou perímetros),
  • áreas (ou superfícies de sólidos)
  • volumes
• 2.5. Construções com régua e compasso no plano:
  • retas perpendiculares e paralelas
  • mediatriz de segmento
  • divisão de segmentos em partes proporcionais
  • bisseção de ângulos; polígonos regulares (inscritos e circunscritos)
  • triângulos quaisquer (com a determinação de seus elementos)
  • Problemas de tangência, envolvendo circunferências
• 2.6. Geometria Analítica:
  • coordenadas cartesianas de pontos no plano e no espaço
  • Distância entre pontos no plano e no espaço e problemas bi e tridimensionais simples envolvendo esses conceitos.
  • Equações de retas no plano:
    • significado dos coeficientes na equação normal
    • paralelismo e perpendicularismo
    • distância de ponto a reta
  • Equações de circunferências no plano:
    • reconhecimento do centro
    • raio
    • retas secantes e tangentes
  • Aplicações
  • Equações e inequações a duas incógnitas como representação algébrica de Lugares Geométricos no plano

FUNÇÕES

Mais recentes na História da Matemática do que os Números, a Geometria ou a Álgebra, as funções têm um papel de grande destaque no interior daquela disciplina por serem instrumentos eficazes na modelagem de problemas reais ou imaginados e por fornecerem formas eficientes de estudá-los.

Assim, por exemplo, é importante entender que fenômenos periódicos são descritos principalmente com funções trigonométricas; que certas situações de crescimento ou decrescimento rápido podem ser representadas por funções exponenciais; que distâncias podem ser expressas utilizando a função módulo e que a função logaritmo surgiu para permitir simplificações no cálculo de produtos ou potências dos números com muitos dígitos que astrônomos ou navegadores necessitavam manipular, no século XVI.

A linguagem gráfica, sob várias apresentações, por sua comunicação direta e global, ganha cada vez mais destaque na era da comunicação. Ganham, assim, relevância especial não só a capacidade de leitura e interpretação de gráficos funcionais, conferindo significado às variações das grandezas envolvidas, mas também a competência de saber analisá-los para estimar resultados e fazer previsões.

Por outro lado, no que tange à interação entre diferentes áreas da própria Matemática, os gráficos funcionais são ferramentas importantes para tornar mais significativas as resoluções de equações e inequações algébricas.

TÓPICOS

• 3.1. A noção de função como instrumento para lidar com variação de grandezas:
  • Os conceitos de domínio e imagem
  • Caracterizações e representações gráficas e algébricas das seguintes funções:
    • funções módulo
    • polinomiais de 1o e 2o graus
    • raiz quadrada, f(x)=xn, f(x)=1/x, f(x)=1/x²
    • funções exponenciais e logarítmicas (cálculo de valores aproximados em casos de expoentes irracionais)
    •  as funções seno, cosseno e tangente (definições geométricas no ciclo trigonométrico e valores nos arcos notáveis) e suas transladadas.
  • Aplicações
• 3.2. Reconhecimento e interpretação de gráficos de funções:
  • domínio
  • imagem
  • valores destacados no gráfico (máximos, mínimos, zeros)
  • biunivocidade
  • periodicidade
  • simetrias
  • intervalos de crescimento e decrescimento
  • análise da variação da função
  • Aplicações em situaçõesproblema de contexto variado, incluindo estimativas ou previsões de valores
  • Equações e inequações envolvendo funções:
    • resoluções gráficas
    • algébricas.
  • Identidades funcionais importantes:
    • princípio de identidade polinomial
    • produtos notáveis e fatoração de polinômios
    • principais identidades trigonométricas
    • propriedades básicas de logaritmos e exponenciais
  • Desigualdade triangular para módulos
  • Aplicações em situações-problema

COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

O desenvolvimento do espírito crítico, da capacidade de analisar e de tomar decisões, diante de vários tipos de situações da vida em sociedade, exige do cidadão que seja bem informado. Estatísticas e probabilidades estão cada vez mais presentes nos meios de comunicações como forma de apresentação de informações.

Pesquisas de opinião, pesquisas sobre preços, sobre epidemias e outros temas de interesse social, ambiental ou econômico são noticiadas frequentemente, sempre permeadas de porcentagens ou outros indicadores, de gráficos, tabelas e, não raro, inferindo conseqüências prováveis e forjando opiniões.

Para poder interpretar de forma autônoma e crítica tais informações, o indivíduo deve ser capaz de compreender bem a linguagem pictográfica, compreender a importância da amostra para as conclusões de uma pesquisa e ter claro que a atribuição de probabilidades é, sobretudo, uma forma de quantificar a incerteza quanto ao resultado a ser obtido.

Em diferentes áreas e atividades profissionais, são de grande utilidade as capacidades de reconhecer o caráter aleatório de fenômenos, utilizar processos de contagem em situaçõesproblema, representar frequências relativas, construir espaços amostrais e calcular probabilidades. Ressaltamos que, na resolução de problemas de contagem, o importante é a habilidade de raciocínio combinatório.

É fundamental valorizar o desenvolvimento da capacidade de formular estratégias para a organização dos dados em agrupamentos que possam ser contados corretamente, tendo em vista que a mera aplicação de fórmulas não nos permite resolver a maior parte dos problemas de contagem.

TÓPICOS

• 4.1. Problemas de contagem:
  • o princípio fundamental da contagem
  • o princípio aditivo
  • a divisão como um processo de redução de agrupamentos repetidos
  • Resolver problemas envolvendo a contagem de diferentes tipos de agrupamentos
  • Binômio de Newton
• 4.2. Probabilidade de um evento num espaço equiprovável:
  • construção de espaços amostrais finitos e representação através de frequências relativas
  • Probabilidade da união e da interseção de eventos
  • Eventos disjuntos
  • O conceito de independência de eventos
  • Probabilidade condicional
  • Aplicação de probabilidade em situações-problema
• 4.3. População e amostra:
  • Estatística descritiva:
    • tratamento da informação obtida com a organização e interpretação de dados em tabelas e gráficos.
  • Significado e aplicação de medidas de tendência central (média, mediana e moda) e de dispersão (desvio-médio, desvio-padrão e variância)