Números naturais (por vezes também chamados de números inteiros) são aqueles utilizados para a contagem (como em “existem sete moedas na mesa”) e na ordenação (como em “esta é a terceira maior cidade do país”).
Em linguagem matemática, esses propósitos são diferenciados pelo conceito de números cardinais (como em “existem sete moedas na mesa”) e ordinais (como em “esta é a terceira maior cidade do país”), respectivamente.
Um terceiro uso dos números naturais é como números nominais, tais como o número do modelo de um produto (iphone 7), onde o “número natural” é usado apenas para nomear e geralmente não tem qualquer significado de número como usado em matemática, mas sim apenas compartilha do conjunto de caracteres.
Os números naturais são a base a partir da qual todos os outros conjuntos de números podem ser construídos por sua extensão: os números inteiros, os números racionais, os números reais, os números complexos, os números hiper-reais, hiper-inteiros, e assim por diante.
Desse modo, os números naturais são canonicamente incorporados (princípio de identificação) nos outros sistemas numéricos.
Propriedades dos números naturais, tais como a divisibilidade e a da distribuição de números primos, são estudadas na teoria dos números.
Problemas relacionados com a contagem e ordenação, tais como separação e enumerações, são estudados em análise combinatória.
Não existe um acordo universalmente aceito sobre a possibilidade de incluir o zero no conjunto dos números naturais.
Alguns autores consideram os números naturais a iniciar com 0, correspondendo então o conjunto dos números naturais aos inteiros não negativos como 0, 1, 2, 3, …
Enquanto outros consideram a partir do 1, correspondendo então o conjunto aos números inteiros positivos como 1, 2, 3, ….
Chama-se conjunto dos números naturais, símbolo N, o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, …
N = {0, 1, 2, 3, …}
No âmbito deste conjunto são definidas duas operações matemáticas fundamentais, a adição e a multiplicação, que são muito semelhante e que apresentam as seguintes propriedades:
Propriedades da adição
- Associativa da adição:
- (A + B) + C = A + (B + C)
- Comutativa da adição:
- A + B = B + A (para todo A e B que pertença ao conjunto dos números naturais)
- Elementro neutro da adição:
- A + 0 = A (para todo A que pertença ao conjunto dos números naturais)
Propriedades da multiplicação
- Associativa da multiplicação:
- (A.B).C = A.(B.C) (para todo A, B e C que pertença ao conjunto dos números naturais)
- Comutativa da multiplicação:
- A.B = B.A (para todo A E B que pertença ao conjunto dos números naturais)
- Elementro neutro da multiplicação:
- A.1 = A (para todo A que pertença ao conjunto dos números naturais)
- Distributiva da multiplicação relativamente a adição:
- A.(B + C) = A.B + A.C (para todo A, B e C que pertença ao conjunto dos números naturais)
O conjunto N é o mais básicos, e todos os outros conjuntos numéricos são ampliações de N, isto é: contêm N, e com ele as operações de adição, multiplicação e suas propriedades aqui apresentadas, além de outras mais, que são de fato o motivo determinante da ampliação a partir de N.
Assim, dado um número natural A diferente de 0, o simétrico (o oposto) de A não existe em N. E o resultado disto é o símbolo A – B não possuí significado em N para todo A e B que pertença a N, isto é: em N, a subtração não é uma operação matemática possível.
Impossibilidade esta superada com a introdução de outros conjuntos numéricos.